零点收敛指数(exponent of convergence of zeros)是量度函式零点稠密程度的一个量。设f(z)为一整函式，为其零点序列，则零点收敛指数λ=λ(0，f)定义为使得级数：

收敛的正数α所成的集合之最大下界。因此当α>λ时，级数收敛；当α<λ时，级数发散。若a为任一複数，{z_n}为f(z)-a的零点序列，即f(z)的a值点序列，则相应地可以定义f(z)的a值点序列的收敛指数λ(a，f)。

设R为係数取自交换体K中的有理分式。称K的元素α是R的零点，如果α可代入R中，且对应于R的有理函式在点α为零。这时R在点α的赋值是严格正的整数；称之为零点α的重数。如果这个整数等于1，则称α为单零点，否则称α为多重零点。当R为多项式时，零点与根的概念是一致的。

设f为定义于开集D上的解析函式，而z₀为D的点。 则存在唯一的由自然数n与在z0的邻域内解析的函式f₁所组成的偶(n，f₁)，使：f(z)=(z-z₀)nf₁(z)，其中f₁(z0)≠0. 如果n不等于零，则称z0是f的零点。此时，整数n叫做z₀的重数。

能局部展成幂级数的函式，它是複变函数论研究的主要对象。解析函式类包括了数学及其在自然科学和技术套用中所遇到的大多数函式，这类函式关于算术、代数和分析的各种基本运算是封闭的，解析函式在其自然存在的域中代表唯一的一个函式，因此，对解析函式的研究具有特殊的重要性。

对解析函式的系统研究开始于18世纪。欧拉在这方面做出许多贡献。拉格朗日最早希望建立系统的解析函式理论，他曾试图利用幂级数的工具来发展这种理论，但未获成功。

法国数学家柯西以他自己的工作被公认为是解析函式理论的奠基者。1814年他定义正则函式为导数存在且连续，他批判了过去许多错误的结果，创立了若干法则，以保证级数运算的可靠性。1825年他得到了着名的柯西积分定理，随后又建立了柯西积分公式。柯西利用这些工具得到了正则函式在它的定义域内处处可表为收敛的幂级数的结果，其逆命题亦真。所以解析和正则是等价的。后来黎曼对柯西的工作做出了重要的发展。1900年，法国数学家古尔萨改善了正则函式的定义，只要求函式在定义域中处处有导数。

外尔斯特拉斯以幂级数为出发点开展对解析函式的研究。他定义正则函式为可以展开为幂级数的函式，创立了解析开拓理论，并利用解析开拓定义完全解析函式。柯西的方法限于研究完全解析函式的所谓单值分支，必须通过解析开拓才能和外尔斯特拉斯的理论统一起来。

级数是指将数列的项依次用加号连线起来的函式。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅立叶级数等。

级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变数之间的依赖关係──函式。

设a₁，a₂，a₃，…a_n，…为一个数列，称a₁+a₂+…+a_n+…为一个级数。如果lim(a₁+a₂+…+a_n)存在，则称无穷级数(简称级数)，(记为)收敛，并称此极限值为级数的和。

级数不收敛，称为发散。如果由级数各项的绝对值所构成的级数收敛，则原级数收敛，并称原级数绝对收敛。不绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛级数；改变条件收敛级数中项的顺序(更序)，就可能变成一个发散级数。

自从阿基米德以来，用分割求和的朴素思想解决求积问题时，在数量计算上，就总是以级数形式出现的。

17世纪中叶以来，级数收敛的概念逐步明确，从而有力地促进了微积分学基本概念——定积分的形成。级数在分析学中具有很重要的地位。利用级数，可以解超越方程、微分方程；或求定积分与超越函式的值等，它甚至还是某些函式的惟一表达式。