设X为Dirichlet本原特徵，定义

为Dirichlet L函式．

因为 ，故可由此定义完全DirichletL函式

其中

X为偶特徵, X为奇特徵.

定理一 设X≠1(即为非平凡特徵)，则L(s,X)在区域Re(s)>0收敛，且在其紧集中一致收敛．而当Re(s)>1时有Euler积.

定理二设 为m级分圆域，则

其中X取满足N(X)|m的Dirichlet本原特徵.

证明 只需证明 时的情况，此时

因此，只需证明

对任意素数均成立.

设 则p在K中的素分解为

f是使 的最小正整数， ,故有

而满足 的X的全体即为Gm'。当X过Gm'时，X(p)过f次单位根乘群W共 .故可得

从而定理得证.

作为千禧难题之一的黎曼猜想，长期以来备受许多数学工作者们的关注。1989年，Selberg为了研究L-函式的线性组合的值分布，以Riemann zeta函式为原型，定义了一类Dirichlet级数，其满足欧拉乘积，解析延拓，Riemann-型函式方程，且提出了关于这一类函式的几个基本猜想。引人兴趣的是，Selberg指出这些猜想紧密联繫着数论中的某些相关的经典猜想。从此而后,这一类所谓的Selberg类L-函式成为了複分析理论中的另一个非常热门的研究课题，也是现代解析数论中的重要研究对象，但是对于这一类函式的理解尚未达到一个完整的框架。Selberg猜测，黎曼假设对所有Selberg类中的函式L成立。由黎曼猜想衍生出来的一类重要问题是关于简单零点在全部非平凡零点中所占比例的估计。.数学家们曾普遍猜测，函式L的所有零点都是简单零点，我们称之为简单零点假设，但此命题迄今尚未得到证明。不过，与黎曼猜想类似，简单零点假设也得到了许多数值及解析结果的支持。Steuding给出过关于广义Selberg类L-函式c值点的渐进公式，并将其套用到Nevanlinna值分布理论上.此方向引起了许多学者的兴趣，对此进行了深入研究，成功地将两个交叉学科融合在一起。另外，扈和李等人利用Riemann zeta函式在临界直线上的零点构造了一个整函式，并利用此函式将黎曼猜想转换成亚纯函式问题。

以Nevanlinna值分布理论为主要研究工具，讨论广义Selberg类L-函式的零点分布问题。研究了 Dirichlet L-函式的单零点分布问题。藉助值分布理论，结合函式论中的abc猜想定理，给出关于模k的一族Dirichlet L-函式的判别零点估计式。此外，证明对任意有穷複数a，L-a的单零点在其全部零点中所占的比例是个正值，至多除掉两个例外值，并且给出此比例值的下确界。还有讨论广义Selberg类L-函式的导函式L(k)(s))的零点分布问题等。根据L(k)(s)左右两侧的非零区域，并进一步给出L(k)(s)的零点估计式。研究广义Selberg类L-函式与亚纯函式具有分担值的问题等。