海之美文新闻资讯希尔伯特零点定理
希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）是古典代数几何的基石, 它给出了域 k 上的 n 维仿射空间中的代数集与域 k 上的 n 元多项式环的根理想的一一对应关係, 此外, 它的一个较弱版本给出了仿射空间中的点与多项式环的极大理想之间的一一对应关係, 由此建立了代数和几何之间的联繫, 使得人们可以用交换代数的手段研究几何问题.
基本介绍
- 中文名：希尔伯特零点定理
- 外文名：Hilbert's Nullstellensatz
- 套用：是解方程的基础定理之一
- 可计算性：可以用于具体判断方程组是否有解
- 诺特定理：由希尔伯特零点定理推出
- 涉及学科：数学, 交换代数, 代数几何
各种形式
初等形式
设
是关于变元
一组 
元多项式. 方程组
无公共零点的充要条件是: 存在另一组
元多项式
,使得成立: 
.
弱形式
代数闭域
上的
元多项式环
的极大理想具有形式
, 这里
.
强形式
强形式的表述需要定义代数集. 称集合
是代数闭域上的维仿射空间, 又记
为上的元多项式环. 称
的子集 
为代数集, 如果存在
的理想
使得
. 另一方面, 对于的任一子集, 我们都可以定义的一个理想
, 不难验证
是的一个根理想. 这里,的理想
的根理想定义为
希尔伯特零点定理的强形式现在可以表述如下:的任一理想
都满足
.