在极限理论中，我们知道闭区间上连续函式具有5个性质，即：有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续性定理。其中，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函式的有界性定理的证明，在很多数学教材中，有多种方法可以证明此定理。比如可以利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛準等。我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理。在本文中，我们分别讨论一元连续函式和二元连续函式的有界性定理，分别给出一种证明方法。

若函式f在闭区间 上连续，则f在 上有界。

证 套用区间套定理。假设函式f在闭区间 上无界。将区间 二等分，函式f必在 或 上无界，将函式f在其上无界的闭子区间记为 。如果函式f在这两个闭区间上都无界，则任取其一记为 。

同理，将区间 二等分，则函式f必在其中一个闭子区间上无界，将其记为 。用二等分方法无限次地进行下去，构造出闭区间列 ，满足：

（i）

（ii）

①函式f在每个闭区间 上都无界。根据闭区间套定理，存在惟一的数 属于所有的闭区间，且

一方面，已知函式f在 处连续，取定 ，存在 ，对任何 且满足 ，有 。从而，函式f在 有界。

②另一方面，已知 ，则对上述 ，必存在足够大的 ，使得 。因为函式f在区间 上无界，所以函式在区间 上无界。

①与②矛盾，假设不成立。于是函式f在区间 上有界。证毕。

根据有界性定理以及函式的连续性，我们可以得到下面的最大、最小值定理。

若函式f在闭区间上连续，则f在上有最大值与最小值。

设，E是有界区域，正数

称为区域的直径。当的坐标分别为和时，则

设是中的闭域列，它满足：

（i）

（ii）

则存在惟一一点

若二元函式在有界闭域上连续，则函式在上有界，即存在正数M，对于任意，有。

证 假设二元连续函式在有界区域D上是无界的。设D的直径为，选取D的一条直径，以该直径为边长，作一个正方形，使得D完全包含在该正方形中，然后分别连线该正方形两组对边的中点，则这两条连线会将该正方形四等分，而有界闭域D会被分为有限个小区域。

由于在有界闭域D上无界，则至少存在某个小闭域，使在该小闭域上是无界的，记该小闭域为，直径为，则，且。

重複上述过程，又可将有界闭域划分为有限个小闭域，又至少存在某个小闭域，记为，使在该闭域上无界。记的直径为，则，且。如此这般无限重複地做下去，即可得到一有界闭域列。

该闭域列满足：

（i）

（ii）

（iii）在每一个上无界。

由（i），（ii）知为一闭域套，由闭域套定理知，存在惟一一点，且对任意，存在，当时，。

因为，所以函式在点连续，根据连续函式的局部有界性可知存在，使得在内有界。

取上述的，则存在，当时，，从而在闭域上有界，这与条件（iii）矛盾。

所以在闭域上有界。证毕。

上述用闭域套定理对有界闭域上二元连续函式的有界性定理进行证明，从一侧面反映了此证明与用闭区间套定理证明闭区间上连续函式的有界性定理有异曲同工之妙，但值得注意的是：利用闭区间套定理证明闭区间上连续函式的有界性定理时，只需要将该闭区间不断地二等分，就可以得到一列闭区间套；利用闭域套定理对闭域上二元连续函式的有界性定理进行证明时，我们应该将该闭域几等分，如何去等分却是个难题。