介值定理说明如下。

考虑实数域上的区间 以及在此区间上的连续函式 。那幺，

（1）如果u是在f(a)和f(b)之间的数，也就是说：

那幺，存在 使得 。

（2）值域 也是一个区间，或者它包含 ，或者它包含 。

定理取决于，或者说等价于实数的完整性。 介值定理不适用于有理数Q，因为有理数之间存在无理数。 例如，函式 满足 。 然而，不存在有理数x使得 ，因为 是一个无理数。

该定理可以根据实数的完整性来证明：

我们将证明第一种情况， ，第二种情况类似。

让S是[a，b]中的所有x的集合，让 。S是非空的因为a是S的元素，并且b是S的边界。 因此，通过完整性，存在上限 。 也就是说，c是大于或等于S的每个元素的最小数。我们称 。

存在 。 由于f是连续的，当 时，存在 ，使得 。 这意味着

对于所有的 ，存在属于S的 ，使得

选择 ，这显然不会包含在S中，所以我们有

两种不等式

对于所有的 都是成立的，如我们所说，我们推导出 是唯一可能的值。

介值定理也可以使用非标準分析的方法来证明，这在非常严格的基础上提出了涉及无限小数的“直观”论证。 （见文章：非标微积分）

对于上面的u = 0，该声明也称为博尔扎诺定理。这个定理在1817年被伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）首次证明。奥古斯丁 - 路易·柯西在1821年提供了一个证据。两者的灵感来自于对约瑟夫·路易斯拉格朗日函式的分析正式化的目标。连续函式具有中间值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通过提供用于构造解的十进制扩展的算法，证明了多项式的介值定理（以立方为例）。该算法叠代地将间隔细分为10个部分，在叠代的每个步骤产生一个附加的十进制数字。在给出连续性的正式定义之前，将介值作为连续函式定义的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），没有跳跃的函式满足介值定理，并且具有尺寸对应于变数大小的增量。早期的作者认为结果是直观的，不需要证明。博尔扎诺和柯西的观点是定义一个连贯性的概念（就柯西案中的无限小数而言，在博尔扎诺案中使用实际的不平等），并提供基于这种定义的证据。

“Darboux函式”是具有“介值属性”的实值函式f，即满足介值定理的结论：对于f的域中的任何两个值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之间有一些c，f（c）= y。介值定理说每个连续函式都是一个Darboux函式。但是，并不是每个Darboux功能都是连续的；即介值定理的相反是错的。

例如，对于x> 0和f（0）= 0，取 定义的函式 在x = 0时连续，这个函式在x=0处不连续，但是该函式具有介值属性。

历史上，这个介值属性被建议为实数函式连续性的定义，但这个定义没有被採纳。

Darboux定理指出，由某些区间上某些其他函式的区分产生的所有函式都具有介值属性（儘管它们不需要连续）。

定理意味着，在世界各地的任何一个大环境中，对于温度，压力，高程，二氧化碳浓度来说，如果是连续变化的，那幺总是会存在两个与该变数相同值的对映点。

证明：将f作为圆上的任何连续函式。在圆的中心绘製一条线，在两个相对的点A和B处与其相交。令d由差 定义。如果线旋转180度，将取代值-d。由于介值定理，必须有一些中间旋转角，其中d = 0，因此 在该角度。

对于任何封闭的凸n（n> 1）尺寸形状。具体来说，对于其领域是给定形状的任何连续函式，以及形状（不一定是其中心）内的任何点，相对于函式值相同的给定点存在两个对象点。证明与上述相同。

这个定理也是为什幺旋转摇摆表将使其变得稳定的解释（受到某些容易遇到的限制）。

如果f(a)与f(b)异号，那幺在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)，则符合零点定理。

连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点。特别地，如果A与B异号，则连续曲线与x轴至少相交一次。

在闭区间[a,b]上连续的函式f(x)的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。