海之美文新闻资讯ζ函式
ζ 函式(ζ-function)是用来刻画系统周期点性态的函式，是动力微分系统的重要研究对象。
Smale猜测公理A微分同胚有有理的ζ函式，以后Maninng使用Markov分解这一手段得出证明。张筑生证明了扩张自映射有有理的ζ函式。冯庆富通过公理A*的使用，证明了：①公理A自覆盖映射具有“Markov分解”，这是公理A微分同胚相应结果的推广；②公理A自覆盖映射有有理的ζ函式。
基本介绍
- 中文名：ζ函式
- 外文名：ζ-function
- 定义：刻画系统周期点性态的函式
- 学科：数学
- 领域：微分动力系统
定义
ζ 函式(ζ-function)是用来刻画系统周期点性态的函式。设M是微分流形，f：M→M是可微映射，对m=1,2,...，记Nm=Nm(f)为fm的不动点数目。假设Nm<+∞，m=1,2, ...，如下形式的幂级数：
这里Γ是φ的除奇点外的周期轨道的集合，ζ(γ)是周期轨道的周期。
记号定义
定义1
设X是拓扑空间，f：X→X是连续映射，fn的不动点数Nn(f)<+∞，任意n∈N，则称
为f的ζ函式。
定义2
以
表示形状如
的序列的集合，这里ai取值于{1,2,…,h}。
中的距离定义为
。
这里 ，
，
又以σ表示转移映射：
设A=(A(j,k))是h*h方阵，其中各A(j,k)是0或1。我们把
（或
）称为是A允许序列，如果
所有形状如 的A允许序列组成的
的子集记为
，
称为有限型子转移。
定义3
设M是微分流形，U
M是具有紧緻闭包的开集，A U是紧緻集，f∈C1(U,M)，f(
) 。f称为是在 上扩张的，如果存在M的Riemann度量<·,·>和实数r>1使得
这里|·|表示由<·,·>引出的範数。特别地，如果M是紧緻的，f∈C1(M,M)在M上扩张，则称f是扩张映射。
定义4
f∈C0(U,M)称为在
中正向可扩，如果
，并且存在（被称为可扩常数的）e>0使得对任意x,y∈
，x≠v，存在非负整数k满足d(fk(x),fk(y))>e。
如果f∈C1(U,M)在紧緻不变集 U上扩张，则存在 的紧邻域V U使得f在V中是正向可扩的。
集合S的基数记为#S。
定理及引理
定理1
紧緻光滑流形M上的扩张自映射f具有有理的ζ函式。
定理2
设M是光滑流形，f∈C1(M,M)，
是紧緻集，f在上是扩张的，则ζf(t)是有理函式。
引理1
设f∈C1(M,M)在紧緻集=上是扩张的，<·,·>和r如定义3所述。则存在紧邻域V和实数1<r'<r，ρ>0，使得：对任意x∈V映射f|B(x,ρ)是到象集的微分同胚，对任意p,q∈B(x,ρ)，f(p),f(q)∈B(f(x),r’ρ)有d(f(p),f(q))≥r’d(p,q)。
并且对任意x∈V，0<ρ'<ρ有f(B(x,p'))
B(f(x),r'ρ')。
引理2
设W∈int V是=的紧邻域，则对任意β>0，存在0<α<β，使得W中的任意α伪轨有V中的轨道β追蹤它。
设e是f在V中的可扩常数。选取β满足
，选取α满足0<α<β min{r-1,1}，再选取δ,0<δ<α/2，使得对于任意x,y∈V，d(x,y)<δ，有d(f(x),f(y))<α/2。记
选取p1,...,ps∈W使得
引理3
公理A
公理A是在微分动力系统结构稳定性和Ω稳定性的研究中，由斯梅尔提出的一个基本条件。满足公理A条件要求的系统被称为公理A系统。设M是紧緻微分流形，f：M→M是微分同胚。涉及f的以下条件称为公理A系统：
1.非游蕩集Ω(f)具有双曲结构；
2.周期点在非游蕩集中稠密；
对M上的C向量场X来说，设φ是X导出的流，若Ω(φ)=F∪
，同时满足：
1.F是φ的有限个双曲奇点的集合；
2. 是φ的双曲不变集，而且φ的双曲周期轨在 中稠；
3.F∩ =φ；
则称φ为公理A流。
莫尔斯-斯梅尔系统以及安诺索夫系统都是公理A系统。斯梅尔正是在概括了这两个系统及其他结构稳定系统后提出公理A条件的。公理A系统的遍历性质及其非游蕩集的结构等动力学性质的研究已取得丰富成果。