解析函式analytic function

解析几何

K.魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函式称为解析函式，而区域上的解析函式是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函式。关于解析函式的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函式可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓 ，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函式，若DÉD* ，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓 。解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)=g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函式，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函式，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函式都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函式的分支。这样的完全解析函式实际是一个多值函式。黎曼提出将多值解析函式中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函式看作是定义于其黎曼曲面上的解析函式，这样多值解析函式变成了单值解析函式。

为研究解析函式所不能解决的一般複变函数提供了一个通用方法

解析函式是一类比较特殊的複变函数。200多年来，其核心定理“柯西-黎曼”方程组一直被数学界公认是不能分开的。王见定发现，儘管解析函式已形成比较完善的理论并得到多方面的套用，但自然界能够满足“柯西-黎曼”方程组条件的现象很少，使解析函式的套用受到较大的限制。由此，寻找把“柯西-黎曼”方程组分开的途径，并在1981年以《半解析函式》为题撰写毕业论文。先后得出了一系列描述半解析函式特性的重要定理。发表了《半解析函式》.《半解析函式开拓》、《与半解析函式定义等价的几个定理》、《複变函数分解定理》等多篇学术论文，终于初步形成了半解析函式理论。在这个理论中，王见定大胆地将“柯西-黎曼”方程组的两个方程式分开，将满足其中任一个方程式的函式定义为半解析函式，从而实现了对解析函式的推广，为研究解析函式所不能解决的一般函式提供了一个通用的办法。

解析函式由Cauchy—Rieman方程组确定。今保留其中条件之一而引入半解析函式,得到了一些结果,并找到了半解析函式的物理背景。

1983年王见定教授在世界上首次提出半解析函式理论，1988年又首次提出并系统建立了共轭解析函式理论；并将这两项理论成功地套用于电场.磁场.流体力学.弹性力学等领域。此两项理论受到众多专家.学者的引用和发展，并由此引发双解析函式.复调和函式.多解析函式（k阶解析函式）.半双解析函式.半共轭解析函式以及相应的边值问题.微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生。

共轭作为一个符号早年早有，但作为一个“共轭解析函式类”，王见定教授世界首次提出。任何一个学过複变函数的人都知道，複变函数的求导.积分都是仿实变函式的求导.积分形式推导出来的。解析函式之所以有价值，就在于它在电场.磁场.流体力学.弹性力学等方面的套用。但仔细考查，以上的套用都是共轭解析函式的直接套用，而非解析函式.共轭导数.共轭积分都有明确的物理.力学上直接含义（而解析函式没有）。仅这一点王见定教授使西方数学大家示弱。共轭解析函式是和解析函式完全对称的一类函式，这使得複变函数变得完美，众人皆知对称是科学的一个普遍的美。再者由于有了共轭解析函式类的提出，解析函式与共轭解析函式的不同组合才形成了复调和函式.双解析函式.多解析函式...及相应的微分方程.积分方程等一系列新的数学分支的产生。

寻求满足一定边界条件的解析函式的一类问题，这是解析函式论在许多理论和实际问题中套用极为广泛的一个重要分支。下面是两个最典型的例子。

设l为複平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域,要求一分区全纯函式(即在上述每一个连通区域内全纯）φ(z)使 (1)式中G(t),g(t)都是已知函式，而φ +(t)和φ -(t)分别表示当z从l的正侧（即沿l正向前进时的左侧）和负侧(右侧)趋于l上一点时φ(z)的极限值亦即边值。此外还应补充要求φ(z)在无穷远处至多有一极点。如果l中含有开口弧段，则也应说明要求φ(z)在l的端点附近的性态:具有不到一阶的奇异性。在G(t),g(t)满足一定的条件时,这一问题已完全解决。

（1）式

设G为一区域，l为其边界，取其正向使G在其左侧，要求在G内的一全纯函式φ(z)，使 (2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已给的实函式。特别,当α(t)=1,b(t)=0时，则此希尔伯特边值问题就是解析函式的狄利克雷问题。当α(t),b(t),с(t)满足一定的条件时，上述边值问题已有较完整的讨论,但对G为多连通区域的情况还不能说已完全彻底解决。

有人把黎曼边值问题称作希尔伯特边值问题，而把希尔伯特边值问题称作黎曼－希尔伯特边值问题。这两个问题是有密切联繫的，求解它们的主要工具都是柯西型积分。 　进一步推广是在(1)或(2)中可以含有或者含有φ +(α(t)),φ -(α(t))，其中α(t)为l映于自身的一个同胚映射，保向或逆向，称为l的位移。这样,相应的问题就称为带共轭的或带位移的边值问题，当然也有既带共轭又带位移的边值问题。

（2）式

如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N维分区全纯向量，而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩阵,g(t),с(t)也看作N维向量,则就构成了分区全纯向量的边值问题。这类问题虽也有许多工作，但与N=1的情况相比较,还远远没有达到完善的地步。

由于解析函式概念可推广为广义解析函式（基于把解析函式的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函式边值问题也可推广为广义解析函式边值问题，这是把函式论与偏微分方程结合起来的一个方向。

若函式f(z)在点z₀不解析，但在z₀任一邻域内总有f(z)的解析点，则称z₀为f(z)的奇点。

单连通域内解析函式的环路积分为0。

复连通域内，解析函式的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。

解析函式的导函式仍然是解析函式。

证明：设p为不是常数的复係数多项式，假设p没有複数根，则1/p是C上的解析函式。并且当z →∞时，p(z)→∞，或1/p→0，因此1/p是C上的有界解析函式，依据Liouville定理，任何这样的函式都是常函式，

但若1/p是常数，那幺p是常数，这与p不是常数的假设矛盾。

解析函式边值问题和广义解析函式边值问题在奇异积分方程方面有广泛的套用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的套用。这些方面的理论及其套用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。