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艾里函式
英文名 airy function。英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函式，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函式。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函式Bi(x)（也称为艾里函式）
基本介绍
- 中文名：艾里函式
- 外文名：airy function
- 表达式：Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)
- 提出者：乔治·比德尔·艾里
- 提出时间：1838
- 套用学科：数学
概念介绍
（Ai(x)），英文名 airy function。英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函式，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函式。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函式Bi(x)（也称为艾里函式），是以下微分方程的解：
y''=xy
这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函式由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。
定义
对于实数x，艾里函式由以下的积分定义：Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)
艾里函式图像
艾里函式图像把:y = Ai(x)求导，我们可以发现它满足以下的微分方程：
y''=xy
因为这个方程有两个线性独立的解，所以，第二个解成为“第二艾里函式”。它定义为当x趋于−∞时，振幅与Ai(x)相等，但相位与Ai(x)相差π/2的函式：
Bi(x)=1/π*∫e^(-t^3/3+xt)+sin(t^3/3+xt) dt (0~+∞)
性质
当x趋于+∞时，艾里函式的渐近表现为：
Ai(x)~e^(-2/3*x^(3/2))/(2sqr(π)x^(1/4))
Bi(x)~e^(2/3*x^(3/2))/(sqr(π)x^(1/4))
而对于负数方向的极限，则有：
Ai(-x)~sin(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))
Bi(-x)~cos(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))
自变数複数时
我们可以把艾里函式的定义扩展到整个複平面：
Ai(z)=1/(2πi)*∫e^(t^3/3+zt) dt (C~∞)
其中积分路径C从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程y'' − xy = 0来把Ai(x)和Bi(x)延拓为複平面上的整函式。
以上Ai(x)的渐近公式在複平面上也是正确的，如果取主值为x^(2/3)，且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的，只要x位于扇形{x∈C: |arg x| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−x)和Bi(−x)是正确的，如果x位于扇形{x∈C: |arg x| < (2/3)π−δ}内。
从艾里函式的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在複平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C: (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。
函式关係
当自变数是正数时，艾里函式与变形贝塞尔函式之间有以下的关係：-
艾里函式与变形贝塞尔函式的关係
艾里函式与变形贝塞尔函式的关係-
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在这里，I±1/3和K1/3是方程x^2*y'' + xy' − (x^2 + 1 / 9)y = 0的解。
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当自变数是负数时，艾里函式与贝塞尔函式之间有以下的关係：-
艾里函式与贝塞尔函式的关係
艾里函式与贝塞尔函式的关係-
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在这里，J±1/3是方程x^2*y'' + xy' + (x^2 − 1 / 9)y = 0的解。
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Scorer函式是y'' − xy = 1/π的解，它也可以用艾里函式来表示：
Score函式
Score函式