非齐次贝塞尔微分方程：

的解。即函式：

若ν为整数n时，J_n(z)即为第一类贝塞尔函式J_n(z)。

实际上，在安格尔(Anger，C.T.)之前，泊松(Poisson，S.-D.)在1836年已经证明了：

但未作更多研究。

贝塞尔函式是贝塞尔方程的解，它们和其他函式组合成柱调和函式。除初等函式外，在物理和工程中贝塞尔函式是最常用的函式，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。

贝塞尔函式是数学上的一类特殊函式的总称。一般贝塞尔函式是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标準解函式 ：

这类方程的解是无法用初等函式系统地表示的。

贝塞尔函式的具体形式随上述方程中任意实数 变化而变化（相应地， 被称为其对应贝塞尔函式的阶数）。实际套用中最常见的情形为 是整数 ，对应解称为n阶贝塞尔函式。
儘管在上述微分方程中， 本身的正负号不改变方程的形式，但实际套用中仍习惯针对 和 定义两种不同的贝塞尔函式（这样做能带来好处，比如消除了函式在 点的不光滑性）。

第一类阶贝塞尔函式是贝塞尔方程当为整数或;非负时的解，须满足在时有限。这样选取和处理''J''_α的原因见本主题下面的贝塞尔函式#性质|性质介绍；另一种定义方法是通过它在点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于&alpha；为非整数）：　

上式中为Γ函式（它可视为阶乘|阶乘函式向非整型因变数和自变数|自变数的推广）。第一类贝塞尔函式的形状大致与按速率衰减的正弦或三角函式|余弦函式类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函式的曲线（）。
如果;不为整数，则和线性无关，可以构成微分方程的一个'''解系'''。反之若是整数，那幺上面两个函式之间满足如下关係：
=
于是两函式之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与线性无关的另一解，需要定义'''第二类贝塞尔函式'''。

'''第二类贝塞尔函式'''也许比第一类更为常用。这种函式通常用表示，它们是贝塞尔方程的另一类解，又被称为'''诺依曼函式'''，存在如下关係：

利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函式。又称标函式。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞尔函式，它们和其他函式组合成柱调和函式。除初等函式外，在物理和工程中贝塞尔函式是最常用的函式，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。贝塞尔函式最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函式的一族，也称第一类贝塞尔函式，记作，用的偶次幂的无穷和来定义，数称为贝塞尔函式的阶，它依赖于函式所要解决的问题。的图形像衰减的余弦曲线，像衰减的正弦曲线。第二类贝塞尔函式(又称诺伊曼函式)，记作。当n为非整数时，可以由第一类贝塞尔函式的简单组合来定义；当为整数时，不能由第一类贝塞尔函式的简单组合得到，此时需要通过一个求极限过程来计算函式值。第三类贝塞尔函式（亦称汉克尔函式）定义为，其中为虚数，用n阶(正或负)贝塞尔函式可解称为贝塞尔方程的微分方程。

西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson 1781～1840）法国数学家、几何学家和物理学家。1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识。1800年毕业后留校任教，1802年任副教授，1806年任教授。1808年任法国经度局天文学家。1809年巴黎理学院成立，任该校数学教授。1812年当选为巴黎科学院院士。泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的套用。他工作的特色是套用数学方法研究各类物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和机率论都有重要贡献。他还是19世纪机率统计领域里的卓越人物。他改进了机率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种机率分布──泊松分布。他推广了“大数定律”，并导出了在机率论与数理方程中有重要套用的泊松积分。