贝塞尔函式的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函式的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究克卜勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函式的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函式。

贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变数法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α =n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α =n+½），因此贝塞尔函式在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

（1）在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

（2）圆柱体中的热传导问题；

（3）圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；

在其他一些领域，贝塞尔函式也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函式。

贝塞尔方程是一个二阶常微分方程

第三类贝塞尔函式

必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了表示这些解的不同形式。

第三类贝塞尔函式（Bessel function of the third kind），又称汉克尔函式（Hankel function）。

贝塞尔方程的另外一对重要的线性无关解称为汉克尔函式（Hankel functions） 和 ，它们分别称为第一种和第二种第三类贝塞尔函式，或第一类和第二类汉克尔函式。分别定义为：

其中 i 为虚数单位 。以上的线性组合也成为第三类贝塞尔函式；它们描述了二维波动方程的内行柱面波解和外行柱面波解（"行"与在"行动"中同音）。

利用第一类贝塞尔函式与第二类贝塞尔函式的关係

可将汉克尔函式表示成：

若 α 为整数，则须对等号右边取极限值。另外，无论 α 是不是整数，下面的关係都成立：