抛物柱面函式

简介

在数学中，抛物柱面函式是作为微分方程解的一类特殊函式。

当在抛物柱面坐标中表示时，在拉普拉斯方程上使用变数分离技术时，发现了该方程。

通过完成称为H. F.韦伯方程（Weber 1869）的平方和重新缩放z，可以将上述方程式分成两种不同的形式（A）和（B））：

如果f（a,z）是解，那幺f（a,-z）、f（-a,iz）、f（-a,-iz）也都是解。

如果f（a,z）是方程（A）的解，那幺f（-ia,ze^(1/4)πi）是方程（B）的解，并且类似的，f（-ia,-ze^(1/4)πi）、f（ia,-ze^-(1/4)πi）、f（ia,ze^-(1/4)πi）也是方程（B）的解。

有（A）形式的独立偶数和奇数解。这些是由（阿布拉莫维茨和史蒂文（1965年））给出的：

和

其中

是超几何函式。

可以由上述解的线性组合形成其他成对的独立解。这样的组合是基于他们在无穷远的函式：

这里，

。

当| arg（z）|<π/ 2时，函式U（a，z）接近零，而V（a，z）发散。

对于a的整数值，这些（即U和V）可以用Hermite多项式来重新表示；或者，它们也可以用贝塞尔函式来表示。

函式U和V也与抛物柱面函式Dp（x）（可追溯到Whittaker（1902）的符号）有关：

函式D（a，z）由惠特克和沃森引入，可以用超几何函式来表示