过分函式(excessive function)是现代马尔可夫过程理论的重要概念。设{T_t}_t∈R+为齐次马尔可夫过程{X(t)，t≥0}的转移半群，(E，E)为其相空间，对于f∈E，0≤f<+∞，当α=0时，0过分函式简称过分函式。如果对α>0，有：

1.ᗄt≥0，ᗄx∈E， f(x)≥eT_tf(x)；

2.f=lim eT_tf；

则称f为关于半群{T_t}的α过分函式。

过分函式与古典位势理论中的上调和函式有着十分密切的联繫，在布朗运动过程情形下，非负上调和函式就是过分函式。它是研究亨特过程的一个基本工具。

指这样一种随机过程，在已知它目前状态(现在)条件下，它未来的演变(将来)不依赖于它以往的演变(过去)。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关的特性称为马尔可夫性。其中，“现在”是指固定时刻。但实际问题中常需将马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时。直观上讲，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变数的随机化。例如，考察从圆心出发的平面上的布朗运动，要研究首次到达圆周的时刻t以前的事件和以后的事件的条件独立性，这里的t就是停时，并认为t是“现在”。这种把“现在”推广为停时情形的“现在”，且在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关的特性被称为强马尔可夫性。具有此性质的马尔可夫过程称为强马尔可夫过程。以前，许多人认为马尔可夫过程必然是强马尔可夫过程。直到1956年，才有人找到马尔可夫过程不是强马尔可夫过程的例子。马尔可夫过程理论的进一步发展表明，强马尔可夫过程才是马尔可夫过程的真正研究对象。

随时间推进的随机现象的数学抽象。设(Ω，ℱ，P)为机率空间，T为指标t的集合，如果对每个t∈T，有定义在Ω上的实随机变数X(t)与之对应，就称随机变数族X={X(t)，t∈T}为一随机过程。

人们对一些特殊的随机过程早有研究。1907年前后，俄国数学家马尔可夫提出并研究一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式，后人称这种图式为马尔可夫链。1923年，美国数学家N.维纳从数学上定义了布朗运动，后来也称数学上的布朗运动为维纳过程。这种过程至今仍是随机过程的重要研究对象。通常认为，随机过程一般理论的研究于20世纪30年代才开始。1931年，原苏联数学家柯尔莫戈罗夫发表了《机率论的解析方法》;1934年，辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程和平稳过程奠定了理论基础。稍后，法国数学家莱维从样本函式角度研究随机过程，引进一般可加过程并研究了它的样本函式结构，他出版的关于布朗运动与可加过程的两本书中蕴含着丰富的机率思想。1953年，美国数学家J.L.杜布出版的着作《随机过程论》中系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。他的工作推动了鞅理论的发展。1953年日本数学家伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，定义了对布朗运动的一种随机积分——伊藤积分，为研究马尔可夫过程开闢了新的道路。近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程，而流形上的随机微分方程理论正方兴未艾。20世纪60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面都做出了较好的工作。

称定义在R的开集U上的复值函式f是调和的，如果它在U上二次连续可微，且它经拉普拉斯运算元作用后为零：Δf=0。

可以证明，U上的分布T满足ΔT=0，则T是解析且调和的函式。为使在U上局部可积的函式f是调和的，必须且只须对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球含于U中的正实数α，f(a)等于f在球B上的平均值。或等于f在以a为中心、α为半径的球面上的平均值。由此容易推出： 定义在连通开集U上、使 |f|在U的一点达到其极大值的调和函式是常值函式(极大值原理)。

C之开集U上的所有全纯函式是调和的，它们的实部与虚部也是调和的。反之，如果U是C的单连通开集，则对任一实值调和函式f，存在U上的全纯函式g，使Re(g)=f。

极大值原理可推广到称为次调和函式的更一般的函式类；这是一些定义在U上、在[-∞，+∞[中取值的上半连续函式，而对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球B含在U中的正实数α，f(a)小于f在B上的平均值。

R的开区间上的次调和实值函式正好是这一区间上的凸函式。

对C之开集U上的任一全纯函式f，函式log|f|是次调和的。因而C之开集U上的次调和函式的研究能套用于全纯函式的研究。将这种方法推广于研究Cn之开集U上的全纯函式情况，导致引入一个函式类，称为多元次调和函式类；这是一些定义在U上，在[-∞，+∞[中取值的上半连续函式，且对C的任一直线D，f在D∪U上的限制是次调和函式。

亨特过程是一类满足某些连续性条件的强马尔可夫过程。如果下列三个条件成立：

1.它是右连续的；

2.它具有强马尔可夫性；

3.它是拟左连续的，即对任一列上升趋于停时T的停时{T_n}，有limX(T_n)=X(T)　a.s.在{T<+∞}上；

则齐次马尔可夫过程{X(t)，t∈R₊}称为亨特过程。

亨特过程与位势理论有着密切联繫，这种联繫是由亨特(Hunt，G.A.)等人在把布朗运动与位势的联繫推广到一般马尔可夫过程时发展起来的。