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描述函式法
描述函式法是P.J.Daniel在1940年首先提出的，主要用来分析在没有输入信号作用时，一类非线性系统的稳定性和自振问题。
描述函式法是从频率域的角度研究非线性控制系统的稳定性的一种等效线性化方法。在苏联文献中，常把这种方法称为谐波平衡法。这种方法部不受系统阶次的影响，但有一定的近似性。另外，描述函式法只能用于研究系统的频率回响特性，不能给出时间回响的确切信息。
定义：非线性环节稳态正弦回响中的基波分量与输入正弦信号的複数比（幅值比，相角差）。
基本介绍
- 中文名：描述函式法
- 适用範围：数学
- 别称：谐波平衡法
- 研究对象：非线性系统研究
- 提出者：P.J.Daniel
- 提出年份：1940年
描述函式
对于一个特性不随时间变化的非线性元件，输入是正弦变化并不保证输出也是正弦变化，但可保证输出必然是一个周期函式，而且其周期与输入信号的周期相同。将输入正弦函式表示为x(t)=Xsinωt,同时把输出周期函式y(t)展开成傅立叶级数 则非线性元件的描述函式规定为，由输出的一次谐波分量对输入正弦函式的振幅之比为模和它们的相位之差为相角组成的一个複函数，其表达式为
描述函式法
描述函式法式中X是正弦输入的振幅,Y1是输出的一次谐波分量的振幅,φ1是输出的一次谐波分量与正弦输入的相位差。因此，一个非线性元件就可採用由描述函式表征的一个线性元件来等效。这种等效的近似性实质上就是，在使非线性元件与其等效线性元件的输出偏差均方值为极小意义下的最优逼近。描述函式 N与输入正弦函式的角频率ω无关，为输入正弦函式振幅X的一个複函数。上表列出一些典型的非线性特性的描述函式。
用途
描述函式的一个主要用途是分析非线性控制系统的稳定性，特别是预测系统的自激振荡（周期运动）。对于一类由线性部件和非线性部件构成的闭环控制系统(图1)，假定其线性部分为最小相位系统并採用频率回响G（jΩ）表示它的特性,而用描述函式N表示系统中非线性特性的近似等效特性。那幺在同一个複数平面上作出G（jΩ） 当Ω由0变化到∞的轨迹和-1/N当X由0变化到∞的轨迹后，就可从这两个轨迹的相互分布关係得到判断此类闭环控制系统的稳定性的一些判据。
描述函式法
描述函式法稳定和不稳定判据
如果-1/N 轨迹没有被G(jΩ)轨迹所包围,则闭环控制系统是稳定的。而当-1/N 轨迹被 G（jΩ）轨迹所包围时，闭环控制系统是不稳定的。在前一情况下，系统不会出现自激振荡；在后一情况下，系统输出将增加到安全装置所限定的极限值。
自激振荡判据
如果-1/N 轨迹和G（jΩ）轨迹相交，则闭环系统的输出可能出现自激振荡。这种自激振荡一般不是正弦的，其角频率值和振幅值分别为交点处G（jΩ）轨迹上的Ω值和-1/N轨迹上的X 值。但是，并非所有交点都能构成稳定自激振荡。只有-1/N轨迹的进行方向是由 G（jΩ）的包围区过渡到非包围区的那些交点（如图2的B点）才能构成稳定自激振荡。
控制系统
描述函式法对于非线性控制系统的综合，也提供了方便的工具。通过引入适当的校正装置可以改变系统线性部分频率回响G（j&owega;）轨迹的形状，从而使闭环控制系统中不出现自激振荡并确保较好的过渡过程性能。
準确度
描述函式法在分析非线性控制系统中的有效性和準确度，主要取决于非线性元件输出周期函式中的高次谐波分量在通过线性部分后被衰减的程度。高阶线性系统通常具有较好的低通滤波特性，因此用这个方法分析非线性系统时，线性部分为高阶时的分析準确度往往比线性部分为低阶时好得多。对于判断自激振荡，则当-1/N 轨迹和G（j&owega;）轨迹接近于垂直相交时，描述函式法的分析準确度较高。
描述函式法
描述函式法