正实性概念，最初是在网路分析与综合中提出来的，数学上的正实性的概念与物理上的无源网路的概念密切相关。由无源元件电阻、电感、电容以及变压器等构成的网路．总是要从外界吸收能量的，因此，无源性表示了网路中能量的非负性，即无源网路不能自身产生能量，当这个网路中的所有元件都是线性时，其相应的传递函式就是正实的。随着控制理论的发展，正实性的概念也被引进来，并且在稳定性理论和控制理论中，特别是在自适应控制系统的稳定性分析和系统辨识的收敛性分析中起了关键作用。

关于复变数的有理函式称为正实函式，如果：

(1) 当s为实数时，只要G(s)有定义，它就是实函式；

(2) 对于所有的的s，(表示s位于包含虚轴在内的右半複平面，即)，只要G(s)有定义，就有。

关于复变数的有理函式称为严格正实函式，如果有：

(1)当s为实数时，只要G(s)有定义，它就是实函式；

(2)G(s)在右半闭平面上没有极点；

(3)，对于。

当G(s)表示传递函式时，正实传递函式与严格正实传递函式之间的差别是：在严格正实情况下，不允许在Res=0(即虚轴上)有极点，并且对于所有的实ω，(而不是大于等于零)。

如果令正实函式G(s)表示一个n阶单输入-单输出线性系统

那幺，G(s)为严格正实的必要条件是：

(1)G(s)是严格稳定的(即它的所有极点都在左半开複平面内)；

(2)的Nyquist曲线完全在右半複平面内，也就是说，在正弦曲线输入下，系统回响的相位移总是小于90°；

(3)G(s)的相对阶n－m(也称极点盈数，即系统的极点数与零点数之差)为0或1；

(4)G(s)具有严格最小相位(即它的所有零点都在左半开複平面内)。

复变数的实有理函式矩阵表示多输入多输出系统的传递函式矩阵，其正实性质是单变数正实传递函式的概念的推广。为此首先介绍埃尔米特(Hermite)矩阵的定义及性质。

复变越的矩阵函式为Hermite矩阵，如果

也就是说它的共轭转置矩阵等于它本身，式中星号表示共轭，即。

Hermite矩阵具有下列性质：

(1)Hermite矩阵是方阵，其对角元素为实；

(2)Hermite矩阵的特徵值必须为实；

(3)设为Hermite矩阵，为具有複数分量的向量，*为的共轭复向量，则二次型恆为实。

若对于任意一个非零的复向量，都有>0，则称为正定的Hermite矩阵；若对于任意一个非零的复向量，都有，则称G(s)为半正定的Hermite矩阵。

一个以复变数的实有理函式为元素的方阵是正实函式矩阵，如果：

(1)在右半开平面Res>0上，的每个元素都是解析的，即每个元素在Res>0上没有极点；

(2)对于所有的Res>0的s，矩阵便是半正定的Hermite矩阵。

实有理函式方阵是严格正实函式矩阵。如果：

(1)往右半闭平面Res≥0上，的每个元素都是解析的；

(2)对于所有的Res≥0的s，矩阵便是半正定的Hermite矩阵。