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採样定理
採样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的，在数位讯号处理领域中，採样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数位讯号”）之间的基本桥樑。该定理说明採样频率与信号频谱之间的关係，是连续信号离散化的基本依据。 它为採样率建立了一个足够的条件，该採样率允许离散採样序列从有限频宽的连续时间信号中捕获所有信息。
基本介绍
- 中文名：採样定理
- 外文名：sampling theory
- 别称：奈奎斯特定理
- 表达式：C = B * log2 N ( bps )
- 提出者：奈奎斯特
- 提出时间：1928年
- 套用学科：物理
- 适用领域範围：模拟数字电路、数位讯号处理
定理说明
採样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。採样定理说明採样频率与信号频谱之间的关係，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模拟/数位讯号的转换过程中，当採样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，採样之后的数位讯号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际套用中保证採样频率为信号最高频率的2.56～4倍；採样定理又称奈奎斯特定理。
如果对信号的其它约束是已知的，则当不满足採样率标準时，完美重建仍然是可能的。 在某些情况下（当不满足採样率标準时），利用附加的约束允许近似重建。 这些重建的保真度可以使用Bochner定理来验证和量化。
历史回顾
1924年奈奎斯特(Nyquist)推导出在理想低通信道的最高码元传输速率的公式。
1928年美国电信工程师H.奈奎斯特推出採样定理，因此称为奈奎斯特採样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫採样定理。
1948年资讯理论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农採样定理。採样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域採样定理和频域採样定理。
採样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和採样控制理论等领域得到广泛的套用。
定理分类
时域
频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的採样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些採样点的时间间隔Δt≤1/(2F)，便可根据各採样值完全恢复原来的信号f(t)。 这是时域採样定理的一种表述方式。
时域採样定理的另一种表述方式是：当时间信号函式f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列採样间隔小于或等于1/(2fM)的採样值来确定,即採样点的重複频率f≥(2fM)。图为模拟信号和採样样本的示意图。
时域採样定理是採样误差理论、随机变数採样理论和多变数採样理论的基础。
频域
对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的採样值 来表示,只要这些採样点的频率间隔ω≦π / tm 。
相关公式
理想低通信道的最高码元传输速率B=2W Baud (其中W是频宽)理想信道的极限信息速率（信道容量）。採样定理
採样定理
多变数信号和图像的套用
採样定理通常针对单个变数的函式进行公式化。因此，定理可直接适用于时间相关的信号，并且通常在该上下文中公式化。然而，採样定理可以以直接的方式扩展到任意多个变数的函式。
图像套用
图像套用灰度图像通常表示为代表位于行和列採样位置的交叉处的像素（图像元素）的相对强度的实数的二维阵列（或矩阵）。因此，图像需要两个独立变数或索引，以指定每个像素唯一一个用于行，一个用于列。
彩色图像通常由三个单独的灰度图像的组合构成，一个代表三原色（红色，绿色和蓝色）或简称RGB中的每一个。对于颜色使用3向量的其他颜色空间包括HSV，CIELAB，XYZ等。诸如青色，品红色，黄色和黑色（CMYK）的一些颜色空间可以通过四维表示颜色。所有这些都被处理为二维採样域上的向量值函式。
类似于一维离散时间信号，如果採样解析度或像素密度不足，图像也可能遭受混叠。例如，具有高频率（换句话说，条纹之间的距离小）的条纹衬衫的数码照片可以在衬衫被照相机的图像感测器採样时导致衬衫的混淆。对于这种情况，在空间域中採样的“解决方案”将是更靠近衬衫，使用更高解析度的感测器，或者在用感测器採集图像之前对图像进行光学处理。