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双曲正弦函式
双曲正弦函式是双曲函式的一种。双曲正弦函式在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。与三角函式一样，双曲函式也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函式和双曲余弦函式是双曲函式中最基本的两种，由这两个函式可推导出双曲正切函式等等。
双曲正弦函式的定义式为：
sinh=[e^x-e^(-x)]/2
基本介绍
- 中文名：双曲正弦函式
- 外文名：Hyperbolic sine function
- 套用学科：数学
- 适用领域範围：数学、工程计算问题
- 数学表示：sinh
- 基本概念：双曲函式中的一种
简介
套用上常遇到以e为底的指数函式
和
所产生的双曲函式以及它们的反函式——反双曲函式，而双曲正弦函式是双曲函式的一种，它的定义式为
。
用WPS表格製作的双曲正弦函式的图像
用WPS表格製作的双曲正弦函式的图像当x的绝对值很大时，双曲正弦函式的图形在第一象限内接近于曲线
，在第三象限内接近于曲线
。当x=0时，sinhx=sinh0=0。
定义域和值域
双曲正弦函式的定义域为
，值域也为。
奇偶性
双曲正弦函式是奇函式，它的图形通过原点且关于原点对称。
证明如下：
而
根据奇函式的定义，可得出上述结论。
单调性
双曲正弦函式在区间
内它是单调增加的。证明如下：
查双曲函式的导数公式，得到：
而双曲余弦函式的值域是
。无论
取何值，
的值永远大于0。可见，双曲正弦函式在内永远是单调递增的。
周期性
无论是双曲正弦函式y=sinhx，还是双曲正切函式y=tanhx、双曲余弦函式y=coshx，它们都不是周期函式。
凹凸性
双曲正弦函式在
是凸函式，在
是凹函式
证明：根据函式凹凸性的判定定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那幺：
（1）若在（a,b）内，
，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的
（2）若在（a,b）内，
，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的
根据双曲函式的导数公式，求得双曲正弦函式的二阶导数为：
可见，双曲正弦函式的二阶导数仍然是双曲正弦函式（它本身），而根据双曲正弦函式的单调性，且sinh0=0。可知当x>0时，sinhx的二阶导数大于0。x<0时，sinhx的二阶导数小于0，则可得出上述结论。
导数
双曲正弦函式的导数是双曲余弦函式，即
。
不定积分
双曲正弦函式的积分是这样的：
泰勒展开式
双曲正弦函式的泰勒展开式为：
反函式
双曲正弦函式的反函式是反双曲正弦函式，数学表示上记作arsinh。它的定义式为：
双曲正弦的反函式——反双曲正弦函式的图像
双曲正弦的反函式——反双曲正弦函式的图像
函式y=arsinhx的定义域为，它是奇函式，在区间内单调增加。