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双曲正切函式
双曲正切函式（hyperbolic tangent function）是双曲函式的一种。双曲正切函式在数学语言上一般写作tanh，也可简写成th。与三角函式一样，双曲函式也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正切函式便是其中之一。
与正切函式类似，双曲正切函式在计算上等于双曲正弦与双曲余弦的比值，即tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)。
基本介绍
- 中文名：双曲正切函式
- 外文名：hyperbolic tangent function, tanh
- 类型：实变函式，双曲函式
- 学科：数学
定义
双曲正切函式（tanh）是双曲正弦函式（sinh）与双曲余弦函式（cosh）的比值，其解析形式为：
考虑不等关係：
可知，双曲正切函式的定义域为实数域
。
运算
导数
双曲的导数是双曲余弦的平方的倒数，即：
积分
双曲正切函式的不定积分有如下形式：
泰勒展开
双曲正切函式的泰勒展开式为：
反函式
双曲正切函式的反函式是反双曲正切函式，其定义为：
反双曲正切函式的图像
反双曲正切函式的图像
函式的定义域为开区间（-1,1），它在开区间（-1,1）内是单调增加的奇函式，图形关于原点对称。
与其他双曲函式的关係
除了双曲正切函式的定义式外，双曲正切函式还有以下式子。
1、和角公式：
2、差角公式：
（和角公式的推导）
3、二倍角公式：
（和角公式的推导）
4、恆等式：
性质
有界性
双曲正切函式的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间，且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=-1。
即双曲正切函式的值域是(-1,1)。
证明：
当
时，由于
,则
。
当
时，由于
，则
。
奇偶性
双曲正切函式是奇函式，它的图形通过原点且关于原点对称。
下面是证明：首先明确双曲正切函式的定义域是
。
而
得出
，则证明出双曲正切函式为奇函式。
周期性
无论是双曲正切函式y=tanhx，还是双曲正弦函式y=sinhx、双曲余弦函式y=coshx，它们都不是周期函式。
双曲正切函式的图像
双曲正切函式的图像单调性
双曲正切函式在区间 内是单调增加的。
证明如下：
对双曲正切函式求导。
而
得出双曲正切函式的导数为：
。而无论x取何值，双曲余弦函式的值始终大于等于1，得出x在 内大于0，单调递增。
凹凸性
双曲正切函式的图像双曲正切函式在
上是凹函式，在
上是凸函式。
根据定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二阶导数，那幺
（1）若在（a,b）内
,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
（2）若在（a,b）内
,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
则给双曲余弦函式二次求导，得
而双曲余弦函式恆大于0，而双曲正弦函式在x<0时，它的值小于0，x>0时，它的值大于0，即得出上述结论。