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三角函式公式
三角公式一般指本词条
三角函式是数学中属于初等函式中的超越函式的函式。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变数之间的映射。通常的三角函式是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到複数系。
三角函式公式看似很多、很複杂，但只要掌握了三角函式的本质及内部规律，就会发现三角函式各个公式之间有强大的联繫。而掌握三角函式的内部规律及本质也是学好三角函式的关键所在。
基本介绍
- 中文名：三角函式公式
- 外文名：Formulas of trigonometric functions
- 套用学科：数学、物理、地理、天文地理等
- 适用领域範围：几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等
定义式
| 锐角三角函式 | 任意角三角函式 | |
|---|---|---|
图形 |  直角三角形 |  任意角三角函式 |
正弦（sin） |  |  |
余弦（cos） |  |  |
正切（tan或tg） |  |  |
余切（cot或ctg） |  |  |
正割（sec） |  |  |
余割（csc） |  |  |
表格参考资料来源：现代汉语词典．
函式关係
倒数关係：①
；②
；③
商数关係：①
；②
．
平方关係：①
②
；③
诱导公式
公式一：设
为任意角，终边相同的角的同一三角函式的值相等：
公式二：设
为任意角，
与
的三角函式值之间的关係：
公式三：任意角
与
的三角函式值之间的关係：
公式四：
与
的三角函式值之间的关係：
公式五：
与
的三角函式值之间的关係：
公式六：
及
与
的三角函式值之间的关係：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函式名称变为余名函式，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函式名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π/2±a(k∈z)的三角函式值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函式值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函式值的符号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函式值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函式值的符号。
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函式值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函式值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．
以诱导公式二为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函式的函式值在第三象限是负值，余弦函式的函式值在第三象限是负值，正切函式的函式值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函式的三角函式值在第二象限是正值，余弦函式的三角函式值在第二象限是负值，正切函式的三角函式值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函式的三角函式值在第二象限是正值，余弦函式的三角函式值在第二象限是负值，正切函式的三角函式值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的套用：
运用诱导公式转化三角函式的一般步骤：
特别提醒：三角函式化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函式值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函式化简的要求是项数要最少，次数要最低，函式名最少，分母能最简，易求值最好。
特别提醒：三角函式化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函式值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函式化简的要求是项数要最少，次数要最低，函式名最少，分母能最简，易求值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式
证明如图：负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)相同．
三角和公式
和差化积公式
口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差公式
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明：
sin3a
=sin(a+2a)
=sin2a·cosa+cos2a·sina
=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin3a
=4sina(3/4-sin2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina×2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]×2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos3a-3cosa
=4cosa(cos2a-3/4)
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa×2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]×{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin2a-1)]
cos4a=8cos4a-8cos2a+1
tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a)
五倍角公式
n倍角公式
套用欧拉公式：
.
上式用于求n倍角的三角函式时，可变形为：
所以
其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而
所以
半角公式
（正负由
所在的象限决定）
万能公式
辅助角公式
证明：
由于
，显然
，且
故有：
其它公式
正弦定理
余弦定理详见词条：正弦定理
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有：
正弦定理变形可得：
余弦定理
详见词条：余弦定理
对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：
也可表示为：
降幂公式
sin2α=[1-cos(2α)]/2
cos2α=[1+cos(2α)]/2
tan2α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函式, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。
泰勒展开式
泰勒展开式又叫幂级数展开法
实用幂级数：
ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x3/3!+x/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x2/2!+x/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)…+(2k+1)!!×x2k+1/(2k!!×(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示双阶乘）
arccos x = π/2 -[x + x3/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)……], x∈(-1,1)
arctan x = x - x3/3 + x/5 -…, x∈(-∞,1)
sinh x = x+x3/3!+x/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R
cosh x = 1+x2/2!+x/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R
arcsinh x =x - x3/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) -(1×3×5)x/(2×4×6×7)…, x∈(-1,1)
arctanh x = x + x3/3 + x/5 + …, x∈(-1,1)
在解初等三角函式时，只需记住公式便可轻鬆作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函式值、三角函式不等式、面积等等。
万能公式
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
傅立叶级数
傅立叶级数又称三角级数
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx