三角函式是数学中属于初等函式中的超越函式的一类函式。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变数之间的映射。通常的三角函式是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到複数系。

三角函式示意图

由于三角函式的周期性，它并不具有单值函式意义上的反函式。

三角函式在複数中有较为重要的套用。在物理学中，三角函式也是常用的工具。

即：tanA=∠A的对边/∠A的邻边。

函式名 正弦函式 余弦函式 正切函式 余切函式 正割函式 余割函式

正弦函式 sinθ=y/r

余弦函式 cosθ=x/r

正切函式 tanθ=y/x

余切函式 cotθ=x/y

正割函式 secθ=r/x

余割函式 cscθ=r/y

（1）平方关係：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

（2）积的关係：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

（3）倒数关係：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

两角和与差的三角函式：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高等代数中三角函式的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

tanA·tanB=1

定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

值域：R

奇偶性：有，为奇函式

周期性：有

最小正周期：kπ，k∈Z

单调性：有

单调增区间：(-π/2+kπ，+π/2+kπ),k∈Z

单调减区间：无

在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

法兰西斯·韦达(François Viète)曾在他对三角法研究的第一本着作《套用于三角形的数学法则》中提出正切定理。现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。不过在没有计算机的辅助求解三角形时，这定理可比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。

正切定理： (a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)

证明 由下式开始：

由正弦定理得出

(参阅三角恆等式)

正切函式是直角三角形中，对边与邻边的比值。放在直角坐标系中（如图）即 tanθ=y/x

也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x（由正切英文tangent（读作英[ˈtændʒənt] 美[ˈtændʒənt]）简写得来）。曾简写为tg， 现已停用，仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用。

定义图