量子傅立叶变换实际上是作用在空间上的离散傅立叶变换。因此学习量子傅立叶变换，我们需要先了解下离散傅立叶变换。

离散傅立叶变换是作用在复N维欧氏空间上的一个酉变换，当输入为复向量时，其输出为复向量，其中

由上式得出：

量子傅立叶变换是进行量子力学幅度的傅立叶变换的有效量子算法，它并没有加速计算经典数据的傅立叶变换的任务，但它的一个重要任务是相位估计，即近似酉运算元在某些场合的特徵值。它可将原式分解成更为简单的多个幺正矩阵的积。利用这般的分解方式，离散傅立叶变换可以用作量子电路，其包含了多个哈达玛闸与受控移相闸。

量子傅立叶变换在量子算法中有多处套用，以其可提供相位估算步骤的理论基础，在一些算法中占核心地位，例如用在做质因数分解的秀尔算法(Shor's algorithm)、顺序发现算法以及隐子群问题(hidden subgroup problem)。

作用在空间上的离散傅立叶变换称为量子傅立叶变换。在量子计算中，称空间中的元素(维複列向量)为n量子比特。量子傅立叶有如下表达式：

其中，N为向量的长度。注意到离散傅立叶变换是个幺正映射。

离散傅立叶变换和量子傅立叶变换两者的作用空间不同：前者是作用在复 N 维欧式空间的酉变换；后者是作用在复维空间上的酉变换。由串列计算上升到并行计算，原来的复向量变成了量子状态矩阵的其中一行，便于高速处理。但两者都可以看作是複线性空间中的酉变换。