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傅立叶係数

傅立叶係数

傅立叶係数由Fourier coefficient 翻译而来,有多箇中文译名。它是数学分析中的一个概念,常常被套用在信号处理领域中。对于任意的周期信号,如果满足一定条件,都可以展开三角函式的线性组合,每个展开项的係数称为傅立叶係数。

基本介绍

  • 中文名:傅立叶係数
  • 外文名:Fourier coefficient
  • 别称:傅立叶係数
  • 归属学科:数学
  • 基本释义:信号的傅立叶级数的係数
  • 套用:信号处理

数学分析

定义

若在整个数轴上
且等式右边级数一致收敛,则有如下关係式:
一般地说,若
是以
为周期且在
上可积的函式 ,则按上式计算出的
称为函式
(关于三角函式系)的傅立叶係数,以
的傅立叶係数为係数的三角级数称为
(关于三角函式系)的傅立叶级数,记作:
其中,记号“
”表示上式右边是左边函式的傅立叶级数

一般的周期函式

是以
为周期且在
上可积的函式 ,则:
称为函式
(关于三角函式系)的傅立叶係数

偶函式

是以
为周期的偶函式,或是定义在
上的偶函式 ,则:
称为函式
(关于三角函式系)的傅立叶係数

奇函式

是以
为周期的奇函式,或是定义在
上的奇函式 ,则:
称为函式
(关于三角函式系)的傅立叶係数

相关定理

定理1
(贝塞尔不等式)
若函式
上可积,则
其中,
为函式
的傅立叶係数
定理2
是以
为周期且在
上可积的函式 ,则它的傅立叶级数部分和
时,被积函式中的不定式由极限
来确定。

信号与系统

三角傅立叶级数

以高等数学中的知识,任何周期为
的周期函式
,在满足狄利克雷条件时,可以由三角函式的线性组合来表示
上式即为周期信号的三角傅立叶级数表达式,其中,
为基波信号,
次谐波频率,
是傅立叶係数。
又可表示为
其中,傅立叶係数
,振幅
,相位
之间的关係是
可看出,
都是
的偶函式,
都是
的奇函式。

指数傅立叶级数

其中,傅立叶係数
还可写成:

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