一般地，把形如（a、b、c是常数）的函式叫做二次函式，其中a称为二次项係数，b为一次项係数，c为常数项。x为自变数，y为因变数。等号右边自变数的最高次数是2。

交点式为 （仅限于与x轴有交点的抛物线），

与x轴的交点坐标是 和 。

注意：“变数”不同于“未知数”，不能说“二次函式是指未知数的最高次数为二次的多项式函式”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变数”可在一定範围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函式方程、微分方程中是未知函式，但不论是未知数还是未知函式，一般都表示一个数或函式——也会遇到特殊情况），但是函式中的字母表示的是变数，意义已经有所不同。从函式的定义也可看出二者的差别。。

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达着称）在他的着作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的係数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的係数的平方；然后在方程的两边同时开二次方（引自婆什迦罗第二）

1.二次函式的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函式。开口向上或者向下的抛物线才是二次函式。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。

3.二次项係数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。

4.一次项係数b和二次项係数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。（可巧记为：左同右异）

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）

6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。

7.当 时，函式在 处取得最小值 ；在 上是减函式，在 上是增函式；抛物线的开口向上；函式的值域是 。

当 时，函式在 处取得最大值 ；在 上是增函式，在 上是减函式；抛物线的开口向下；函式的值域是 。

当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函式是偶函式，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。

8.定义域：R

值域：当a>0时，值域是 ；当a<0时，值域是 。

奇偶性：当b=0时，此函式是偶函式；当b不等于0时，此函式是非奇非偶函式。

周期性：无

解析式：

①一般式：

⑴a≠0

⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下；

⑶顶点： ；

⑷

若Δ>0，则函式图像与x轴交于两点：

和 ；

若Δ=0，则函式图像与x轴交于一点：

若Δ<0，函式图像与x轴无公共点；

②顶点式： 此时顶点为（h,k)

时，对应顶点为 ，其中, ；

③交点式：

函式图像与x轴交于 和 两点。

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特徵和图像的开口方向与函式y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函式y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函式平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0),我们可设 ,然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤： (韦达定理)

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函式的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的係数 (y为截距)　二次函式表达式的右边通常为二次三项式。

若ax²+bx+c=0有两个实根x₁,x₂，则 此抛物线的对称轴为直线 。

方法1：

已知二次函式上三个点，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)。把三个点分别代入函式解析式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，有：

得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

方法2：

已知二次函式上三个点，(x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)

利用拉格朗日插值法，可以求出该二次函式的解析式为：

与X轴交点的情况:

当 时，函式图像与x轴有两个交点，分别是(x₁, 0)和(x₂, 0)。

当 时，函式图像与x轴只有一个切点，即 。

当 时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值範围是虚数（ ）

在平面直角坐标系中作出二次函式y=ax²+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函式图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形準确无误，那幺二次函式图像将是由 平移得到的。

二次函式图像是轴对称图形。对称轴为直线

二次函式图像

对称轴与二次函式图像唯一的交点为二次函式图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函式图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。

a,b同号，对称轴在y轴左侧；

a,b异号，对称轴在y轴右侧。

二次函式图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²+k（x≠0）

, 。

二次项係数a决定二次函式图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函式图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函式图像的开口越小。

一次项係数b和二次项係数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函式图象与y轴的交点处的该二次函式图像切线的函式解析式（一次函式）的斜率k的值。可通过对二次函式求导得到。

常数项c决定二次函式图像与y轴交点。

二次函式图像与y轴交于（0,C）点

注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函式图像与x轴有2个交点。

k=0时，二次函式图像与x轴只有1个交点。

质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函式图像与x轴无交点。

当a>0时，函式在x=h处取得最小值 =k，在x<h範围内是减函式，在x>h範围内是增函式（即y随x的变大而变大），二次函式图像的开口向上，函式的值域是y>k

当a<0时，函式在x=h处取得最大值 =k，在x<h範围内是增函式，在x>h範围内是减函式（即y随x的变大而变小），二次函式图像的开口向下，函式的值域是y<k

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函式是偶函式

对于一般式：

①y=ax²+bx+c与y=ax²-bx+c两图像关于y轴对称

②y=ax²+bx+c与y=-ax²-bx-c两图像关于x轴对称

③y=ax²+bx+c与y=-ax²+bx+c-b²/2a关于顶点对称

④y=ax²+bx+c与y=-ax²+bx-c关于原点中心对称。（即绕原点旋转180度后得到的图形）

对于顶点式：

①y=a(x-h)²+k与y=a(x+h)²+k两图像关于y轴对称，即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

②y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²-k两图像关于x轴对称，即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

③y=a(x-h)²+k与y=-a(x-h)²+k关于顶点对称，即顶点(h, k)和(h, k)相同，开口方向相反。

④y=a(x-h)²+k与y=-a(x+h)²-k关于原点对称，即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。

（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）

五点草图法又被叫做五点作图法是二次函式中一种常用的作图方法。

五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点。

在国中数学中，要求採用描点法画出二次函式图像。

其做法与五点法类似：【以 为例】

1、列表

先取顶点，用虚线画出对称轴。取与x轴两个交点（如果存在）、y轴交点及其对称点（如果存在）和另外两点及其对称点。Ps.原则上相邻x的差值相等，但远离顶点的点可以适当减小差值

y=2(x-1)^2-1

2、依据表格数据绘製函式图像,如图

特别地，二次函式（以下称函式） ,

当y=0时，二次函式为关于x的一元二次方程（以下称方程），即

此时，函式图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函式与x轴交点的横坐标即为方程的根。

y=ax² (0，0) x=0

y=ax²+K (0，K) x=0

y=a(x-h)² (h，0) x=h

y=a(x-h)²+k (h，k) x=h

y=ax²+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h>0,k>0）的图象

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)²+k（h>0,k<0）的图象

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k>0）的图象

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k<0）的图象

在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

因此，研究抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的图像，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图像提供了方便。

2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图像：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)。

3．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。

4．抛物线y=ax²+bx+c的图像与坐标轴的交点：

(1)图像与y轴一定相交，交点坐标为(0, c)；

(2)当 时，图像与x轴交于两点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由 （A为其中一点的横坐标的两倍）

当 时，图像与x轴只有一个切点；

当 时，图像与x轴没有公共点。当a>0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

5．抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0，则当 时， ；如果a<0，则当 时， 。

顶点的横坐标，是取得最值时的自变数值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

6．用待定係数法求二次函式的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式（表达式）为一般形式：

(a≠0)

(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。

(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。

1.要理解函式的意义。

2.要记住函式的几个表达形式，注意区分。

3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大）(增减值）等的差异性。

4.联繫实际对函式图象的理解。

5.计算时，看图像时切记取值範围。

6.随图象理解数字的变化而变化。 二次函式考点及例题

二次函式知识很容易与其他知识综合套用，而形成较为複杂的综合题目。因此，以二次函式知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

（1）对二次函式概念理解有误，漏掉二次项係数不为0这一限制条件；

（2）对二次函式图像和性质存在思维误区；

（3）忽略二次函式自变数取值範围；

（4）平移抛物线时，弄反方向。

一般地，自变数x和因变数y之间存在如下关係：

y=ax²+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函式的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函式。

二次函式表达式的右边通常为二次三项式。

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P(h, k)]

交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关係：

, ，

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶

点P，坐标为

当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。

3.二次项係数a决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口大小。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项係数b和二次项係数a有1个交点。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

交点个数

Δ=b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b²-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口.
b和a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右.
c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）