二阶微分方程的一般形式是

其中，x是自变数，y是未知函式，y'是y的一阶导数，y''是y的二阶导数。

在有些情况下，可以通过适当的变数代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程。

1）y''=f(x)型

方程特点：右端仅含有自变数x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。

例1 求方程y''=e^2x-cosx的通解。

解：原方程两边积分两次，得通解

其中，C₁，C₂为任意常数。

2）y''=f(x,y')型

方程特点：右端函式表达式中不含有未知函式y。

由于y'也是x的未知函式，可设p(x)=y'，则原方程可降阶为

这是关于p的一阶微分方程，可求通解。

3）y''=f(y,y')型

方程特点：右端函式表达式中不含有自变数x。

令y'=p(y)，利用複合函式求导法则

原方程变为关于y，p的一阶方程

一般形如

（其中，f(x)是x的函式）的方程称为二阶常係数线性微分方程。

当f(x)=0时，方程

称为二阶常係数线性齐次微分方程；否则，方程（1）称为二阶常係数线性非齐次微分方程。

1）二阶常係数线性齐次微分方程的解

定理1（线性齐次微分方程通解的结构定理）如果函式y₁(x)与y₂(x)是(2)的两个线性无关的解，则函式

是齐次方程（2）的通解。（其中，C₁、C₂为两个独立的任意常数）

微分方程 的通解与其特徵根的关係见下表1。

2）二阶常係数线性非齐次微分方程的解

定理2（线性非齐次微分方程通解的结构定理）如果y₀是非齐次微分方程（1）的一个特解，而y*是对应的齐次微分方程（2）的通解，则y=y₀+y*是方程（1）的通解。

对于比较简单的情形，可以用观察法找特解。但对于比较複杂的情形就不太容易了。为此，下面对于f(x)的几种常见形式，以表2列出找其特解的方法（待定係数法）（表2中P_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_mx^m为已知的多项式）。