人口系统数学模型

正文

人口控制论和人口系统工程的首要任务是建立人口系统的数学模型。根据人口系统的反馈机制，明确区分状态变数、控制变数和观测量，可以建立人口系统的闭环控制模型。模型是对实体的近似描述，如果模型精度满足所研究问题的要求，模型便被认为是準确的。用中国人口统计数据校验有关人口系统数学模型时，其近期精度达到0.1%左右,这表明中国人口模型的精度很高。
20世纪30年代A.J.洛特卡建立了人口的定常积分方程模型。40年代莱斯利建立了差分方程组模型。60年代又出现了弗尔斯特的偏微分方程模型。70年代波拉德在莱斯利模型基础上提出了随机模型。建立完善的人口系统闭环控制模型，则是最近几年的事。中国控制论学者在这项工作中取得了重要成果。

模型

人口模型分为两类，一类是确定性模型，另一类是随机模型。如果按年龄和时间是连续量还是离散量，又可将人口模型分为连续模型和离散模型两种。连续模型是由偏微分方程描述的带边界控制的分布参数系统，离散模型是由差分方程组描述的双线性系统。离散模型可用离散化方法从连续模型得到。连续模型便于理论分析，而离散模型适合于计算机仿真。
人口系统连续模型　两个自变数的函式()代表时刻一切年龄小于的人口总数，称为人口函式。(=媆()/媆,称为人口密度函式。则人口系统连续模型为

(1)

式中()是相对死亡率函式，()为人口迁移率函式，嗘()为绝对出生率函式,()为相对出生率函式，()为初始年龄密度函式。在(1)中唯一能控制的是出生率嗘(),它是系统的控制变数。它出现在系统的边界条件中，所以模型 (1)又称为边界控制的分布参数系统。这里的嗘()并不与实时人口状态()发生联繫，所以这种控制又称为开环控制。
实际上，嗘()应与时刻的人口状态，特别是与处在生育期内妇女的生育水平有密切关係。考虑到这一特点又有如下的人口闭环控制模型：

(2)

式中()称作妇女总和生育率,它是人口系统的控制变数。中国人口控制和计画生育是靠控制()来进行的。【，】称为妇女育龄区间,为最小生育年龄，为最高生育年龄，()为女性比例函式，()为妇女生育模式，满足归一化条件：
在模型(2)中,嗘()与时刻的人口状态()建立了直接关係，这在控制论中称为实时状态反馈，这种控制形式称为闭环控制（见闭环控制系统）。
人口系统离散模型　如果用(),(),(),…,()表示时刻的年龄构成,其中()表示年代年满周岁但不到+1周岁的人口数，写成向量形式
则离散人口模型可写成

(3)

式中()，()为相应维数的矩阵，
式中称为按龄死亡率,为人类能活到的最高年龄;称为婴儿死亡率；（）为女性比例函式；（）为妇女生育模式,服从归一化条件；()为人口迁移向量；为人口初始年龄状态;()为妇女总和生育率,它是系统控制变数;()是人口状态变数。模型(3)是一个双线性系统。在这个模型中,一项是年代人口经死亡后留存到下一年的人口年龄构成。而是年代出生的人口留存到下一年的人口,()是年代迁移人口留存到下一年的人口。在模型(3)中，方程左端表示+1年代的人口年龄构成,而方程右端则表现了年代人口年龄的变化。因此在这个模型中，时间、出生、死亡和迁移四个因素以及它们之间的定量关係得到了完全描述。
在模型(1)、(2)、(3)中,观测变数就是人口指数，例如总人口数()
人口控制就是通过改变、调节妇女总和生育率()来控制人口状态()，达到改变和控制人口趋势的目的。

人口系统数学模型

人口系统数学模型

正文

模型

相关推荐