海之美文新闻资讯伯努利微分方程
形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函式，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的着名特殊情况是逻辑微分方程。
基本介绍
- 中文名：伯努利微分方程
- 外文名：Bernoulli differential equation
- 领域：数学
- 提出者：雅各布·伯努利
- 性质：具有已知精确解的非线性微分方程
- 公式形式：y'+P（x）y=Q(x)y^n
简介
形如y'+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函式，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。 伯努利方程的着名特殊情况是逻辑微分方程。
转换为线性微分方程
伯努利微分方程可以把变数替换成为线性微分方程，将伯努利微分方程两端除以
，得
作变数替换
，则
。代入上式，有：
这是以z为未知函式的一阶线性微分方程，由此方程解出z，再由
可得伯努利微分方程的解。
注意，对于n=0和n = 1，伯努利方程是线性的。 对于n≠0和n≠1，替换
将任何伯努利方程调整到线性微分方程。 例如：
让我们考虑以下微分方程：
以伯努利形式（用n = 2））重写它：
现在，用
我们得到：
求解
作为线性微分方程的解：
那幺我们有
是下面方程的解
对于每个这样的微分方程，都有
>0，我们有y恆等于0。