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积分中值定理
积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
积分中值定理揭示了一种将积分化为函式值， 或者是将複杂函式的积分化为简单函式的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面套用广泛。
基本介绍
- 中文名：积分中值定理
- 外文名：Mean value theorems for definite integrals
- 套用领域：数学微积分
- 性质：微积分定理
- 主要划分：第一中值定理和积分第二中值定理
定理内容
若函式
在闭区间
上连续，则在积分区间上至少存在一个点
，使下式成立
其中，a、b、满足：
。
二重积分的中值定理
设f(x,y)在有界闭区域D上连续，
是D的面积，则在D内至少存在一点
，使得
定理证明
设
（x）在上连续，且最大值为
，最小值为
，最大值和最小值可相等。
由估值定理可得
同除以（b-a）从而
由连续函式的介值定理可知，必定
，使得
，即：
命题得证。
几何意义
这个定理的几何意义为:若
，
，则由
轴、
、
及曲线
围成的曲边梯形的面积等于一个长为
，宽为
的矩形的面积。
推广形式
第一定理
如果函式 、
在闭区间 上连续，且 在 上不变号， 则在积分区间
上至少存在一个点 ，使下式成立：
第二定理
一、如果函式 、 在闭区间 上可积，且 为单调函式，则在积分区间 上至少存在一个点 ,，使下式成立：
二、如果函式 、 在闭区间[a,b]上可积，
并且是单调递减函式，则在积分区间 上至少存在一个点 ， 使下式成立：
三、如果函式 、 在闭区间 上可积，且 并是单调递增函式，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立：
定理套用
积分中值定理在套用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使複杂的被积函式化为相对简单的被积函式，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函式积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函式。
求极限
在函式极限的计算中, 如果含有定积分式, 常常可以运用定积分的相关知识, 比如积分中值定理等, 把积分
问题运用
某些带积分式的函式, 常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题, 有时运用积分中值定理能使问题迎刃而解。
例题2运用估计
在大多数的积分式中, 能找到其被积函式的原函式再进行求值的积分简直是凤毛麟角, 当被积函式“积不出”或者原函式很複杂时, 可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函式, 将变化缓慢的部分或积分困难的部分进行估计, 可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法,
例题3不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合併同一积分区间上的不同积分,根据被积函式所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。
在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便去掉积分符号, 如果被积函式是两个函式之积时, 可考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可以得到“>”的结论, 或者成功的解决问题。
例题4