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牛顿叠代法
牛顿叠代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和複数域上近似求解方程的方法。
基本介绍
- 中文名：牛顿叠代法
- 外文名：Newton's method
- 别称：牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法
- 提出时间：17世纪
产生背景
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函式
的泰勒级数的前面几项来寻找方程
的根。牛顿叠代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿叠代公式
设
是
的根，选取
作为 的初始近似值，过点
做曲线
的切线
，
，则 与
轴交点的横坐标
，称
为 的一次近似值。过点
做曲线 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标
，称
为r的二次近似值。重複以上过程，得 的近似值序列，其中，
称为 的
次近似值，上式称为牛顿叠代公式。
用牛顿叠代法解非线性方程，是把非线性方程 线性化的一种近似方法。把
在点 的某邻域内展开成泰勒级数
，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即
，以此作为非线性方程 的近似方程，若
，则其解为 ， 这样，得到牛顿叠代法的一个叠代关係式： 。
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那幺在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那幺牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那幺牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每叠代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
叠代法也称辗转法，是一种不断用变数的旧值递推新值的过程，跟叠代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。叠代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重複性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重複执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变数的原值推出它的一个新值。
利用叠代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定叠代变数
在可以用叠代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变数，这个变数就是叠代变数。
二、建立叠代关係式
所谓叠代关係式，指如何从变数的前一个值推出其下一个值的公式（或关係）。叠代关係式的建立是解决叠代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对叠代过程进行控制
在什幺时候结束叠代过程？这是编写叠代程式必须考虑的问题。不能让叠代过程无休止地执行下去。叠代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的叠代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的叠代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对叠代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束叠代过程的条件。
其他叠代算法
欧几里德算法
最经典的叠代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数
同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反覆叠代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：
int Gcd_2(int a,int b)/*欧几里德算法求a,b的最大公约数*/{if (a<=0 || b<=0)/*预防错误*/return 0;int temp;while (b > 0)/*b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值*/{temp = a % b;/*叠代关係式*/a = b;b = temp;}return a;}从上面的程式我们可以看到a，b是叠代变数，叠代关係是temp = a % b；根据叠代关係我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到叠代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前沖的先锋。
斐波那契数列
还有一个很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>2时）。
在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的叠代关係，所以我们可以考虑叠代算法。
int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）数列{if (n < 1）/*预防错误*/return 0;if (n == 1 || n == 2)/*特殊值，无需叠代*/return 1;int f1 = 1,f2 = 1,fn;/*叠代变数*/int i;for(i=3; i<=n; ++i)/*用i的值来限制叠代的次数*/{fn = f1 + f2; /*叠代关係式*/f1 = f2;//f1和f2叠代前进，其中f2在f1的前面f2 = fn;}return fn;}C语言代码
double func(double x) //函式{ return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;}double func1(double x) //导函式{ return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;}int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //maxcyc 叠代次数{ double x1,x0; int k; x0=*x; for(k=0;k<maxcyc;k++) { if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函式返回值为0 { printf("叠代过程中导数为0!\n"); return 0; } x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿叠代计算 if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1))<precision）//达到结束条件 { *x=x1; //返回结果 return 1; } else //未达到结束条件 { x0=x1; //準备下一次叠代 } } printf("叠代次数超过预期！\n"); //叠代次数达到，仍没有达到精度 return 0;}int main(){ double x,precision; int maxcyc; printf("输入初始叠代值x0:"); scanf("%lf",&x); printf("输入最大叠代次数："); scanf("%d",&maxcyc); printf("叠代要求的精度："); scanf("%lf",&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1） //若函式返回值为1 { printf("该值附近的根为：%lf\n",x); } else //若函式返回值为0 { printf("叠代失败！\n"); } return 0;}C++代码
//此函式是用来求一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解//比如 x^3-27=0，我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int main(){double diedai(double a,double b,double c,double d,double x);double a,b,c,d;double x=10000.0;cout<<"请依次输入方程四个係数：";cin>>a>>b>>c>>d;x=diedai(a,b,c,d,x);cout<<x<<endl;return 0;}double diedai(double a,double b,double c,double d,double x){while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001){x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/(3*a*x*x+2*b*x+c);}return x;}可以得到一元3次方程3个解的程式(原创，超最佳化)：
#include<iostream>#include<vector>using namespace std;vector<double >v;//stl vector链型数组vector<double >::iterator it;//vector叠代器int x0=5;double a,b,c,d;double abs(double y){ while(y<0) y=-y; return y;}double f(double x){ return a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;}double fd(double x){ return 3*a*x*x+2*b*x+c;}bool u;//用来判断是否重複void newton(int a1,int b1,int c1,int d1){ for(x0=-5000;x0<=5000;x0++)//在一个大区域中逐个点用牛顿法，可找出大多数3次方程所有根 { double x1=x0; while(abs(f(x1))>0.001) { double x=x1; x1=x-f(x)/fd(x); } for( it=v.begin();it!=v.end();it++) { if(abs((*it-x1))<0.01) {u=1; break;} } if(u!=1&&x1<1000000000) { cout<<x1<<" "; v.push_back(x1);//把已得到的解添加到vector，用于防止重複 } u=0; } }int main(){ cin>>a>>b>>c>>d; newton(a,b,c,d);}matlab代码
定义函式
function y=f(x)
y=f(x）；%函式f(x）的表达式
end
function z=h(x)
z=h(x）；%函式h(x）的表达式
end
主程式
x=X;%叠代初值
i=0;%叠代次数计算
while i<= 100%叠代次数
x0=X-f(X)/h(X);%牛顿叠代格式
if abs(x0-X)>0.01；%收敛判断
X=x0;
else break
end
i=i+1;
end
fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'X='，X，'i='，i) %输出结果
Python代码
Python代码以实例展示求解方程
的根。
def f(x): return (x-3)**3 '''定义 f(x) = (x-3)^3'''def fd(x): return 3*((x-3)**2) '''定义 f'(x) = 3*((x-3)^2）'''def newtonMethod(n,assum): time = n x = assum Next = 0 A = f(x) B = fd(x) print('A = ' + str(A) + ',B = ' + str(B) + ',time = ' + str(time)) if f(x) == 0.0: return time,x else: Next = x - A/B print('Next x = '+ str(Next)) if A - f(Next) < 1e-6: print('Meet f(x) = 0,x = ' + str(Next)) '''设定叠代跳出条件，同时输出满足f(x) = 0的x值''' else: return newtonMethod(n+1,Next)newtonMethod(0,4.0) '''设定从0开始计数，x0 = 4.0'''Java代码
Java实现开平方的牛顿叠代法. 求
的算术平方根就是求
的正根, 得叠代公式:
. 代码中取初始值
, 误差控制在
.
public static double sqrt(double c) { if (c < 0) {return Double.NaN; } double e = 1e-15; double x = c; double y = (x + c / x) / 2; while (Math.abs(x - y) > e) { x = y; y = (x + c / x) / 2; } return x;}JavaScript代码
/*** @function newtonMethod 该函式是牛顿叠代法的js实现他可以用于求任意一元高次方程的解。（简单版）* @param fn 要求根的函式* @param dfn 要求根的函式的导函式* @param x0 在函式x定义域上任意取的一个x值x0* @param n 期望叠代的次数* @return 该方程的近似解* */function newtonMethod(fn, dfn, x0, n){ const y = fn(x0) // 在函式有效区间内选取任意 x0 求出点 (x0,y) 其中 y= fn(x0) const k = dfn(x0) // 使用导函式求出过 点(x0,y) 的切线斜率 k const b = y - k * x0 // 将点(x0,y) 代入直线方程 y=kx+b 求出常数 b 。 const x = (0 - b) / k // 将 y=0代入直线方程 y=kx+b 求出该方程的一次近似解 x if(--n > 0){ return newtonMethod(fn, dfn, x, n) // 当n趋于无穷大时得到该方程的精确解 } return x}// 化简函式 (simplify)function NTMethod(fn = _=>_, dfn = _=>1, x0 = 0, n = 1){ const x = x0 - fn(x0) / dfn(x0) if(n === 1){ return x // 返回一个关于函式 fn(x) 的近似解 } return NTMethod(fn, dfn, x, --n)}Fortran代码
program newton
implicit none
real::a
real::b
real::fb
real::counter
integer::n
!real,parameter::zero=0.00001
real::fx,fx1
real::df
write(*,*)"enter a number:"
read(*,*)a
do counter=1,a-1
fx=sin(counter)
fx1=sin(counter+1)
if (fx*fx1<0) then
df=cos(counter)
fx=sin(counter)
write(*,*)"初始值取："
write(*,*)counter
do n=1,25,1
b=counter-fx/df
fb=sin(b)
end do
write(*,*)"数值解："
write(*,*)b
end if
end do
stop
end program
