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牛顿逼近法
牛顿逼近法-牛顿逼近法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和複数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函式f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿叠代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
基本介绍
- 中文名：牛顿逼近法
- 外文名：Newton's method\Newton-Raphson method
- 属性：牛顿
- 性质：逼近法
- 牛顿法的本质：仍然是“以直代曲”
- 别名：牛顿法、牛顿-拉弗森方法
简介
牛顿逼近法，又称牛顿法（英语：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英语：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和複数域上近似求解方程的方法。方法使用函式
的泰勒级数的前面几项来寻找方程
的根。
起源
牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表）中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。
方法说明
蓝线表示方程
而红线表示切线。可以看出
比
更靠近
所要求的根
。
首先，选择一个接近函式
零点的
，计算相应的
和切线斜率
（这里
表示函式
的导数）。然后我们计算穿过点
并且斜率为
的直线和
轴的交点的
坐标，也就是求如下方程的解：
我们将新求得的点的
坐标命名为
，通常
会比
更接近方程
的解。因此可以利用
开始下一轮叠代。叠代公式可化简为如下所示：
已经证明，如果
是连续的，并且待求的零点
是孤立的，那幺在零点
周围存在一个区域，只要初始值
位于这个邻近区域内，那幺牛顿法必定收敛。
并且，如果
，那幺牛顿法将具有平方收敛的性能。粗略的说，这意味着每叠代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
具体介绍
求代数方程
的精确解是很难的事情，特别地当
是 高于5次的多项式时，不能通过多项式係数的有限次运算得到根的表达式。在这种情况下求 方程的近似解却是可以的，牛顿法就是一种比较好的逐次逼近法。牛顿法在求根过程中逼近很快，用计算机计算是十分方便的。
牛顿法的本质仍然是“以直代曲”，首先猜测一个值x1，用它近似方程的根 c,用过
点的切线
近似代替曲线
,然后用切线方程
的根
近似代替曲线方程的根c,这样就得到c的第二个近似值。依此类推可得到叠代公式
在複平面上选定一个区域，对于任意初始点(除去(0，0)点)，讨论它在牛顿法叠代过程中的行为。一般选
,其中p是大于2的正整数。这样，叠代公式还可以 改写为
对于
，有三个根：
，三个根均匀地分布在单位圆上。
叠代过程照例要先将複数分解为实部和虚部：
以
为例，用牛顿法生成分形图形的一个简单的matlab源程式如下：
% 牛顿求根法
N=160;
warning off
[X,Y]=meshgrid((-N:N)/N*2);
[m,n]=find(X==0&Y==0);
X(m,n)=1;
Y(m,n)=1;
R=zeros(321);
G=R;
B=R;
for k=1:30;
Xn=2*X/3+(X.^2-Y.^2)./(3*(X.^2+Y.^2));
Yn=2*Y/3-2*X.*Y./(3*(X.^2+Y.^2));
X=Xn;
Y=Yn;
end
R(X>0.8)=1;
G(Y<-0.5)=1;
B(Y>0.5)=1;
imshow(cat(3,R,G,B))