系统实现问题指由系统输入-输出之间的外部关係求其完整的状态空间内部描述的问题。例如对线性系统，其外部描述可以是传递函式形式，或者是充足的输入-输出数据，其状态空间描述则归结为确定足够的状态变数和完整的微分或差分方程的係数矩阵.更一般情形是给定输入-输出映射，其中U*，Y*分别为输入U和输出Y的时间函式的集合，求状态空间X、输入-状态迁移函式

和输出回响函式

使其产生的输入-输出关係能够实现或最佳逼近预先给定的F，对线性系统，对应于同样输入-输出回响的状态空间模型均相互等价，即可经相似变换相互转换.状态空间维数最低的实现称为最小实现，可以证明，最小实现的充分必要条件是它必为能控(能达)且能观的。

有限维定常线性系统的实现是最简单的情形，已有若干实用的算法.对布尔变数(取值0或1)系统，输入-输出映射可以用有限自动机等系统模型来实现，对给定的非线性输入-输出映射可求其非线性变换或非线性动力学的系统实现，难度更大，更深入的研究有卡尔曼(Kalman，R.)等人的模论方法和範畴论的方法等。

对非线性系统，由于存在各种不同的表现形式，实现问题通常是针对特定表现形式而提的，例如，求双线性模型的实现，求伏泰拉级数展开形式和实现等。

状态空间是描述系统运动的一种抽象空间，指以系统的状态变数为轴所张成的空间，亦即系统所有可能状态的集合，具体为一般系统定义中能够用于表示时间系统S⊂X×Y演化规则和的状态C的集合，这时，可称S为状态空间C中的动态系统。

状态空间的点称为代表点或相点，系统运动轨迹(动力学方程的每个解)亦为状态空间的一个点集合，称为轨线.独立状态变数个数称为状态空间的维数，通常为非零整数0，1，2，…特别地，2维状态空间称为状态平面.用状态空间描述系统运动，可以把解析问题转化为较直观的几何问题来处理，有时比较方便.

通常希望寻找为实现同一时间系统S所需的最小状态空间，这时得到的动态系统描述称为最小实现。

状态空间的实现(realization of state space)是线性系统频域描述到时域描述的转换，它是将传递函式矩阵用状态空间形式描述出来。其中，阶数最低的状态空间描述称为最小实现，给定线性定常系统Σ(A，B，C)，易得其传递函式矩阵.反过来，任给一严格真有理分式矩阵，如果存在，使得

则称n阶系统Σ(A，B，C)为G(s)的一个状态空间实现，简称实现，在G(s)的实现中阶数最低者称为G(s)的最小实现，已知Σ(A，B，C)是最小实现的充分必要条件为(A，B)能控，(A，C)能观测.利用严格真有理分式和其相伴形之关係可直接得其单输入-单输出实现，将此用于给定的严格真有理分式矩阵的每个元素，可得mr个单输入-单输出实现，然后将这mr个单输入-单输出实现进行适当组合便得G(s)的实现.从G(s)的任一实现中找出其既能控又能观测的子系统，便是G(s)的最小实现，当然由G(s)的汉克尔矩阵，按确定步骤亦可获得G(s)的最小实现。