物理学中常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度，例如质量密度、电荷密度、每单位时间传递的动量（即力）等等，但是物理学中又常用到质点、点电荷、瞬时力等抽象模型，他们不是连续分布于空间或时间中，而是集中在空间中的某一点或者时间中的某一瞬时，那幺它们的密度应该如何表示呢？

为了在数学上理想地表示出这种密度分布，引入了δ函式的概念。用数学表示为：

上述表达式不规定δ函式在0点的取值，是因为这个值无法严谨地表述出来，不能笼统的定义为正无穷，并且函式取值的“大小”是由第二个积分式决定的，因此只需限定取值为零的区域即可。如果函式不在0点取非零值，而在其他地方，可定义

其中H(x)称为阶跃函式或亥维赛单位函式：

可以证明两种定义是等价的。从第二个定义中，可以看到δ函式可以通过对阶跃函式取微分得到，实际上，只要我们对一个不连续函式取微分，就会出现δ函式。

严格来说δ函式不能算是一个函式，因为满足以上条件的函式是不存在的。数学上，人们为这类函式引入了广义函式的概念，在广义函式的理论中，δ函式的确切意义应该是在积分意义下来理解。在实际套用中，δ函式总是伴随着积分一起出现。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和机率论里都有很重要的套用。

一些函式可以认为是狄拉克δ函式的近似，但是要注意，这些函式都是通过极限构造的，因此严格上都不是狄拉克δ函式本身，不过在一些数学计算中可以作为狄拉克δ函式进行计算。

图1.高斯分布函式a趋近于0的序列

狄拉克δ函式有以下性质，在理解这些性质的时候，应该认为等式两边分别作为被积函式的因子时得到的结果相等。

偶函式，其导数是奇函式

放缩（或相似性）

这种性质称为挑选性，它将 在 点的值 挑选出来

上述性质则可看成适用于高阶导数的挑选性。

如果方程 的实根 全是单根，则

该等式的含义为，若将δ函式作用在一个函式上，则会把函式的实根挑选出来，其左边表示在函式 为零时会取非零值，右边表示在 处，会取得非零值，并且取值“大小”，或者说在积分中的作用大小与δ函式的比值是函式在 处导数的绝对值的倒数。通过这一性质可以得到一些具体的等式，如

以及

这个性质说明δ函式与x的乘积在积分中与0的作用是相同的。

方程 表明，当我们用x去除方程的两边，并且x可以取为零时，我们应该在其中一边加上δ函式的某个倍数，即我们从方程

不能推断出

只能推断出

研究函式 的微分，一般的公式是

为了使导函式在 附近是有明确定义（非正常函式的意义）的，通常会对它加上一个附加条件，即它从 到 的积分为0，而上式中 从 到 的积分为零， 从 到 的积分却是-iπ，因此上式就不是一个正确的等式了，为了改正它，需要增加一个修正项，我们注意到 在 的负值处有一个虚数项 ，这个项在0附近有一个突变，对它微分会产生一个 函式，那幺等式变成

δ函式的傅立叶变换是，

根据δ函式的定义，δ函式并不是通常意义下的一般函式，应当看作一种函式列的极限或者泛函，因此δ函式的傅立叶积分也不是通常意义的傅立叶积分而是一种广义的傅立叶积分。

可见，δ函式与常数1是一对傅立叶变换的共轭函式。

δ函式的傅立叶逆变换是:

在多维空间中的δ函式定义如下

例如在三维空间中，三维δ函式可表示为三个一维δ函式乘积表示，在直角坐标系中

在极坐标系中

在球坐标系中

多维的δ函式主要性质

δ函式可以表示如下：

点电荷等抽象模型的密度分布可以表示为

一组点电荷的电荷密度可以表示为

不仅可以用δ函式表示点电荷的密度分布，还可以表示圆柱、球壳上的电荷密度。例如，在电荷q均匀分布在半径为a的球上，在球坐标系中其电荷密度为

在半径为b的圆柱上均匀分布的电荷单位长度的电荷为 ，在柱坐标系中其电荷密度为

电学的高斯定理微分形式为

电场强度为

因此位矢的微分可以表示成

也可代入电荷密度的表达式直接得到。

在结构力学中，δ函式可以用来描述结构上的瞬时荷载或点荷载。一个谐振子在t=0时突然受到冲量为I的力的冲击，其演变可以如下描述：

其中m是质量，ξ是挠度，而k是弹簧常数。

在测度论中，与δ函式相应的有δ测度，其定义如下

设X是一个非空集，任意选取元素 ，对任意集合 ，定义 其中 为集合A的特徵函式，定义为

称 为元素x处的δ测度。

Lebesgue-Stieltjes测度定义为：设F(x)是实数R上单增右连续的函式，对于区间[a,b)，定义 为(R,F)上的Lebesgue-Stieltjes测度，记为 。

则δ测度可表示为阶跃函式 的Lebesgue-Stieltjes测度，即

记 为n点（n为整数）处的δ测度，则 恰是整数集N上的计数测度。